Giochi logici e matematici

Vi propongo 10 noti giochini matematici da fare sotto l’ombrellone o tra gli amici. Non richiedono particolari doti di genialità, ma solo attenzione e… semplice intuito. Per visualizzare la soluzione basta selezionare con il mouse la parte scritta in bianco ed otterrete il reverse leggibile.

1. Le 1000 lire mancanti

Ci sono tre amici che si trovano una sera e decidono di andare insieme a cena in un ristorante della loro città. Alla fine della cena, chiedono naturalmente il conto al cameriere, che immediamente porta loro un biglietto dal quale risulta che la spesa complessiva ammonta a 30000 lire (i prezzi ovviamente si riferiscono a qualche anno fa). A questo punto i tre amici estraggono ognuno una banconota da 10000 lire e la porgono al cameriere, lamentanosi però perchè trovano il conto piuttosto caro, e chiedono quindi al cameriere di andare dal suo capo per chiedere un piccolo sconto. Il cameriere si reca allora dal direttore riferendo quanto gli è stato detto, e quest’ultimo decide di accettare la richiesta applicando uno sconto di 5000 lire. Subito dopo il cameriere prende 5 pezzi da 1000 lire dalla cassa e li riporta ai tre amici, i quali decidono di riprendere 1000 lire a testa e lasciano le restanti 2000 al cameriere come mancia, in segno della sua disponibilità. Usciti dal locale i tre amici cominciano a fare i conti: dunque, ognuno di loro ha in pratica speso 9000 lire, per un totale di 27000 lire, più le 2000 date al cameriere si arriva ad una somma di 29000, ma dove sono finite le restanti 1000 lire che mancano alle 30000 iniziali?

soluzione

Le 1000 lire non sono finite da nessuna parte. Infatti il gioco è intenzionalmente posto con lo scopo di ingannare colui che deve risolverlo. La spiegazione è molto semplice: si può facilmente osservare che le 27000 complessivamente sborsate dai tre amici, sono state così suddivise: 25000 lire al direttore del ristorante e le restanti 2000 sono la mancia data al cameriere.

2. La ninfea

Una ninfea cade in un lago. Ogni giorno raddoppia la sua superficie e in 100 giorni copre tutta la superficie del lago. Quanti giorni ha impiegato per coprire la metà del lago?

soluzione

La risposta corretta è: 99 giorni. La soluzione di questo gioco è veramente molto semplice, infatti, se al centesimo giorni la ninfea ha ricoperto tutto il lago, il giorno precedente ne copriva evidentemente la metà, dato che ogni giorno la superficie della foglia raddoppia.

3. Le taniche

Avete a disposizione due taniche inizialmente vuote la cui capacità è rispettivamente di 3 e 5 litri. Avendo a disposizione tutta l’acqua che desiderate, e potendo riempire e vuotare le taniche, oltre che potere trasferire acqua da una all’altra, dovete mettere esattamente 4 litri di acqua dentro la tanica da 5. Come bisogna procedere?

soluzione

Per ottenere il risultato voluto, bisogna innanzitutto riempire la tanica da 5 e quindi trasferirne 3 litri nell’altra. In questo modo saranno rimasti 2 litri in quella da 5. Successivamente si svuota quella da 3 e si trasferiscono i 2 litri precedenti dalla tanica da 5 a quella da 3. A questo punto riempiamo di nuovo quella da 5 e trasferiamo 1 litro in quella da 3 in modo da riempire quest’ultima. Il risultato ottenuto sarà quello di avere 4 litri di acqua nella tanica più grande. Per la risoluzione generale di problemi come questo risulta utile rappresentare ogni configurazione del contenuto delle due taniche con una coppia di numeri (n1, n2) che rappresentano i litri d’acqua contenuti rispettivamente nei due recipienti. A questo punto bisogna costruire un grafo, i cui nodi sono appunto costituiti dalle coppie descritte in precedenza. A partire da ogni nodo bisogna poi costruire i nuovi nodi che si possono ottenere applicando una delle regole seguenti:

1. Riempimento tanica 1

2. Riempimento tanica 2

3. Svuotamento tanica 1

4. Svuotamento tanica 2

5. Trasferimento da 1 a 2

6. Trasferimento da 2 a 1

In questo modo, avremo che nel nostro grafo, da ogni nodo partiranno alcune frecce dirette verso altri nodi, ed il numero di tali frecce è uguale a quello delle diverse regole che si possono applicare a quella particolare configurazione. Una volta completata la costruzione di tale grafo, avendo attenzione di non introdurre nuovi nodi se questi esistono già, ci resterà soltanto da individuare il percorso che ci porta dalla configurazione iniziale a quella finale desiderata. Come molti avranno già potuto notare, non abbiamo fatto altro che costruire il diagramma degli stati di quello che comunemente viene chiamato un automa a stati finiti. Questo automa è dotato di due variabili di stato che coincidono con il contenuto delle due taniche, e di sei ingressi, che non sono altro le regole applicative. In questo caso l’uscita dell’automa non è molto significativa, infatti coincide praticamente con lo stato. Nel nostro caso il percorso da seguire per raggiungere il risultato voluto è il seguente: (0,0) – (0,5) – (3,2) – (0,2) – (2,0) – (2,5) – (1,4) che è il risultato dell’applicazione delle regole: 2 – 6 – 3 – 6 – 2 – 6.

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